Параллелограммом называется такой четырехугольник, в котором противоположные стороны попарно параллельны.

Параллелограмм обладает всеми свойствами четырехугольников, но кроме этого имеет и свои отличительные особенности. Зная их, мы можем с легкостью находить как стороны, так и углы параллелограмма.

Свойства параллелограмма

1. Сумма углов в любом параллелограмме, как и в любом четырехугольнике, равна 360°.
2. Средние линии параллелограмма и его диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Эту точку принято называть центром симметрии параллелограмма.
3. Противоположные стороны у параллелограмма всегда равны.
4. Также у этой фигуры всегда равны противоположные углы.
5. Сумма углов, которые прилегают к любой из сторон параллелограмма, всегда составляет 180°.
6. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон. Это выражается формулой:
   • d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 +b 2), где d 1 и d 2 - диагонали, a и b - смежные стороны.
7. Косинус тупого угла всегда меньше нуля.

Как найти углы заданного параллелограмма, применяя эти свойства на практике? И какие еще формулы могут нам в этом помочь? Рассмотрим конкретные задания, в которых требуют: найдите величины углов параллелограмма.

Нахождение углов параллелограмма

Случай 1. Известна мера тупого угла, требуется найти острый угол.

Пример: В параллелограмме ABCD угол A равен 120°. Найдите меру остальных углов.

Решение: Пользуясь свойством № 5, мы можем найти меру угла B, смежного с тем углом, который дан в задании. Он будет равен:

• 180°-120°= 60°

А теперь, пользуясь свойством №4, мы определяем, что два оставшихся угла C и D противоположны тем углам, которые мы уже нашли. Угол C противоположен углу A, угол D - углу B. А следовательно они попарно им равны.

• Ответ: B = 60°, C = 120°, D=60°

Случай 2. Известны длины сторон и диагонали

В таком случае нам необходимо воспользоваться теоремой косинусов.

Мы можем сначала по формуле вычислить косинус нужного нам угла, а потом по специальной таблице найти, чему равен сам угол.

Для острого угла формула такая:

• cosa = (А² + В² - d²) / (2 * А * В), где
• а - это искомый острый угол,
• А и В - стороны параллелограмма,
• d - меньшая диагональ

Для тупого угла формула немного меняется:

• cosß = (А² + В² - D²) / (2 * А * В), где
• ß - это тупой угол,
• А и В - стороны,
• D - большая диагональ

Пример: необходимо найти острый угол параллелограмма, стороны которого равны 6 см и 3 см, а меньшая диагональ равна 5.2 см

Подставляем значения в формулу для нахождения острого угла:

• cosa = (6 2 + 3 2 - 5.2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27.04) / (2 * 18) = 17.96/36 ~ 18/36 ~1/2
• cosa = 1/2. По таблице выясняем, что искомый угол равен 60°.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которго противоположные стороны параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых

Свойства параллелограмма:
Теорема 22. Противоположные стороны параллелограма равны.
Доказательство. В параллелограмме АВСD проведем диагональ АС. Треугольники АСD и АСВ равны, как имеющие общую сторону АС и две пары равных углов. прилежащих к ней: ∠ САВ=∠ АСD, ∠ АСВ=∠ DAC (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и ВС). Значит, АВ=CD и ВС=AD, как соответственные стороны равных треугольников, ч.т.д. Из равенства этих треугольников также следует равенство соответственных углов треугольников:
Теорема 23. Противоположные углы параллелограмма равны: ∠ А=∠ С и ∠ В=∠ D.
Равенство первой пары идет из равенства треугольников АВD и CBD, а второй - АВС и ACD.
Теорема 24. Соседние углы параллелограмма, т.е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме 180 градусов.
Это так, потому что они являются внутренними односторонними углами.
Теорема 25. Диагонали параллелограмма делят друг друга в точке их пересечения пополам.
Доказательство. Рассмотрим треугольники ВОС и АОD. По первому свойству AD=ВС ∠ ОАD=∠ ОСВ и ∠ ОDА=∠ ОВС как накрест лежащие при параллельных прямых AD и ВС. Поэтому треугольники ВОС и АОD равны по стороне и прилежащим к ней углам. Значит, ВО=ОD и АО=ОС, как соответственные стороны равных треугольников, ч.т.д.

Признаки параллелограмма
Теорема 26. Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.
Доказательство. Пусть у четырехугольника АВСD стороны AD и ВС, АВ и CD соответственно равны (рис2). Проведем диагональ АС. Треугольникик АВС и ACD равны по трем сторонам. Тогда углы ВАС и DСА равны и, следовательно, АВ параллельна CD. Параллельность сторон ВС и AD следует из равенства углов CAD и АСВ.
Теорема 27. Если противоположные углы четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.
Пусть ∠ А=∠ С и ∠ В=∠ D. Т.к. ∠ А+∠ В+∠ С+∠ D=360 о, то ∠ А+∠ В=180 о и стороны AD и ВС параллельны (по признаку параллельности прямых). Также докажем и параллельность сторон АВ и CD и заключим, что АВСD является параллелограммом по определению.
Теорема 28. Если соседние углы четырехугольника, т.е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме 180 градусов, то он является параллелограммом.
Если внутренние односторонные углы в сумме составляют 180 градусов, то прямые праллельны. Значит АВ парал CD и ВС парал AD. Четырехугольник оказывается параллелограммом по определению.
Теорема 29. Если диагонали четырехугольника взаимно делятся в точке пересечения пополам, то четырехугольник - параллелограмм.
Доказательство. Если АО=ОС, ВО=ОD, то треугольники АOD и ВОС равны, как имеющие равны углы (вертикальные) при вершине О, заключенные между парами равных сторон. Из равенства треугольников заключаем, что AD и ВС равны. Также равны стороны АВ и CD, и четырехугольник оказывается параллелограммом по признаку 1.
Теорема 30. Если четырехугольник имеет пару равных, параллельных между собой сторон, то он является параллелограммом.
Пусть в четырехугольнике АВСD стороны АВ и CD параллельны и равны. Проведем диагонали АС и ВD. Из параллельности этих прямых следует равенство накрест лежащих углов АВО=СDО и ВАО=ОСD. Треугольники АВО и CDО равны по стороне и прилежащим к ней углам. Поэтому АО=ОС, ВО=ОD, т.е. диагонали точкой пересечения делятся пополам и четырехугольник оказывается параллелограммом по признаку 4.

В геометрии рассматривают частные случаи параллелограмма.

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ.

§43. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ.

1. Определение параллелограмма.

Если пару параллельных прямых пересечём другой парой параллельных прямых, то получим четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

В четырёхугольниках АВDС и ЕFNМ (черт. 224) ВD || АС и АВ || СD;
ЕF || МN и ЕМ || FN.

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.

2. Свойства параллелограмма.

Теорема . Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Пусть имеется параллелограмм АВDС (черт. 225), в котором АВ || СD и АС || ВD.

Требуется доказать, что диагональ делит его на два равных треугольника.

Проведём в параллелограмме АВDС диагональ СВ. Докажем, что /\ САВ= /\ СDВ.

Сторона СВ общая для этих треугольников; / АВС = / ВСD, как внутренние накрест лежащие углы при параллельных АВ и СD и секущей СВ; / АСВ = / СВD, тоже как внутренние накрест лежащие углы при параллельных АС и ВD и секущей CB (§ 38).

Отсюда /\ САВ = /\ СDВ.

Таким же путём можно доказать, что диагональ AD разделит параллелограмм на два равных треугольника АСD и АВD.

Следствия. 1 . Противоположные углы параллелограмма равны между собой.

/ А = / D, это следует из равенства треугольников САВ и СDВ.
Аналогично и / С = / В.

2. Противоположные стороны параллелограмма равны между собой.

АВ = СD и АС = ВD, так как это стороны равных треугольников и лежат против равных углов.

Теорема 2. Диагонали параллелограмма в точке их пересечения делятся пополам.

Пусть ВС и AD - диагонали параллелограмма AВDС (черт. 226). Докажем, что АО = OD и СО = ОВ.

Для этого сравним какую-нибудь пару противоположно расположенных треугольников, например /\ AОВ и /\ СОD.

В этих треугольниках АВ = СD, как противоположные стороны параллелограмма;
/ 1 = / 2, как углы внутренние накрест лежащие при параллельных АВ и СD и секущей AD;
/ 3 = / 4 по той же причине, так как АВ || СD и СВ - их секущая (§ 38).

Отсюда следует, что /\ AОВ = /\ СОD. А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Следовательно, АО = OD и СО = ОВ.

Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 2 d .

Доказать самостоятельно.

3. Признаки параллелограмма.

Теорема. Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.

Пусть в четырёхугольнике AВDС (черт. 227) АВ = СD и АС = ВD. Докажем, что при этом условии АВ || СD и АС || ВD, т. е. четырёхугольник АВDC - параллелограмм.
Соединим отрезком какие-нибудь две противоположные вершины этого - четырёхугольника, например С и В. Четырёхугольник АВDС разбился на два равных треугольника: /\ СAВ и /\ СDВ. В самом деле, сторона СВ у них общая, АВ = СD и АС = ВD по условию. Таким образом, три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, поэтому /\ СAВ = /\ СDВ.

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому
/ 1 = / 2 и / 3 = / 4.

Углы 1-й и 2-й являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых АВ и СD прямой СВ. Следовательно, АВ || СD.

Точно так же углы 3-й и 4-й являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых СА и ВD прямой СВ, следовательно, СА || ВD (§ 35).

Таким образом, противоположные стороны четырёхугольника АВDС попарно параллельны, следовательно, он параллелограмм, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.

Пусть в четырёхугольнике АВDС АВ = СD и АВ || СD. Докажем, что при этих условиях четырёхугольник АВDС- параллелограмм (черт. 228).

Соединим отрезком СВ вершины С и В. Вследствие параллельности прямых АВ и СD углы 1 и 2, как углы внутренние накрест лежащие, равны (§ 38).
Тогда треугольник САВ равен треугольнику СDВ, так как сторона СВ у них общая,
АВ = СD по условию теоремы и / 1 = / 2 по доказанному. Из равенства этих треугольников вытекает равенство углов 3 и 4, так как они лежат против равных сторон в равных треугольниках.

Но углы 3 и 4 - это внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении прямых АС и ВD прямой СВ, следовательно, АС || ВD (§ 35), т. е. четырёхугольник
АВDС- параллелограмм.

Упражнения.

1. Доказать, что если диагонали четырёхугольника в точке их взаимного пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник - параллелограмм.

2. Доказать, что четырёхугольник, у которого сумма внутренних углов, прилежащих к каждой из двух соседних сторон, равна 2d , есть параллелограмм.

3. Построить параллелограмм по двум сторонам и углу между ними:

а) используя параллельность противоположных сторон параллелограмма;
б) используя равенство противоположных сторон параллелограмма.

4. Построить параллелограмм по двум смежным сторонам и диагонали.

5. Построить параллелограмм по двум его диагоналям и углу между ними.

6. Построить параллелограмм по его стороне и двум диагоналям.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых (рис.1).

Теорема 1. О свойстве сторон и углов параллелограмма. В параллелограмме противоположные стороны равны, противоположные углы равны и сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°.

Доказательство. В данном параллелограмме ABCD проведем диагональ АС и получим два треугольника ABC и ADC (рис.2).

Эти треугольники равны, так как ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (накрест лежащие углы при параллельных прямых), а сторона АС общая. Из равенства Δ ABC = Δ ADC следует, что АВ = CD, ВС = AD, ∠ B = ∠ D. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, например углов А и D, равна 180° как односторонних при параллельных прямых. Теорема доказана.

Замечание. Равенство противоположных сторон параллелограмма означает, что отрезки параллельных, отсекаемых параллельными, равны.

Следствие 1. Если две прямые параллельны, то все точки одной прямой находятся на одном и том же расстоянии от другой прямой.

Доказательство. В самом деле, пусть а || b (рис.3).

Проведем из каких-нибудь двух точек В и С прямой b перпендикуляры ВА и CD к прямой а. Так как АВ || CD, то фигура ABCD - параллелограмм, и следовательно, АВ = CD.

Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется расстояние от произвольной точки одной из прямых до другой прямой.

По доказанному оно равно длине перпендикуляра, проведенного из какой-нибудь точки одной из параллельных прямых к другой прямой.

Пример 1. Периметр параллелограмма равен 122 см. Одна из его сторон больше другой на 25 см. Найти стороны параллелограмма.

Решение. По теореме 1 противоположные стороны параллелограмма равны. Обозначим одну сторону параллелограмма через х, другую через у. Тогда по условию $$\left\{\begin{matrix} 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end{matrix}\right.$$ Решая эту систему, получим х = 43, у = 18. Таким образом, стороны параллелограмма равны 18, 43, 18 и 43 см.

Пример 2.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 4.

Обозначим АВ через х, а ВС через у. По условию периметр параллелограмма равен 10 см, т. е. 2(x + у) = 10, или х + у = 5. Периметр треугольника ABD равен 8 см. А так как АВ + AD = х + у = 5 то BD = 8 - 5 = 3 . Итак, BD = 3 см.

Пример 3. Найти углы параллелограмма, зная, что один из них больше другого на 50°.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 5.

Обозначим градусную меру угла А через х. Тогда градусная мера угла D равна х + 50°.

Углы BAD и ADC внутренние односторонние при параллельных прямых АВ и DC и секущей AD. Тогда сумма этих названных углов составит 180°, т. е.
х + х + 50° = 180°, или х = 65°. Таким образом, ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Пример 4. Стороны параллелограмма равны 4,5 дм и 1,2 дм. Из вершины острого угла проведена биссектриса. На какие части делит она большую сторону параллелограмма?

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 6.

АЕ - биссектриса острого угла параллелограмма. Следовательно, ∠ 1 = ∠ 2.